已知過點（0，4），斜率為-1的直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于A、B兩點．O為坐標原點，|AB|=4
10
，
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：OA⊥OB．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由已知條件得直線l的方程為y=-x+4，聯(lián)立方程組
y=-x+4
y2=2px
，得x2-2（p+4）x+16=0，由此利用弦長公式能求出拋物線的解析式．
（2）由（1）分別求出x1x2=16，y1y2=-16，由此能夠證明OA⊥OB．
解答： 解：（1）過點（0，4），斜率為-1的直線l的方程為y=-x+4，
聯(lián)立方程組
y=-x+4
y2=2px
，
消去y得，x2-2（p+4）x+16=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2-64＞0．
∴|AB|=
(1+1)[4(p+4)2-4×16]
=4
10
，
解得p=2．
∴拋物線的解析式為y2=4x．
（2）證明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，
∴y1y2=（-x1+4）（-x2+4）=-8p=-16
∴x1x2+y1y2=0，
∴OA⊥OB．
點評：本題考查拋物線解析式的求法，考查兩線段垂直的證明，是中檔題，解題時要注意橢圓弦長公式的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象如圖所示，則
4(a-b)4
的值為（　�。�
A、a+bB、-（a+b）
C、a-bD、b-a

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線C的中心在原點，右焦點為F(
2
3
3
，0)，漸近線方程為y=±
3
x．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點，若滿足
OA
•
OB
=0（O為坐標原點），求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設點P（x，y）是曲線C上任意一點，若點P到定點F（c，0）的距離與到定直線l：x=
a2
c
的距離的比等于
c
a
（其中a＞c＞0）．
（1）求曲線C的方程，并指出其軌跡類型；
（2）當a=2，c=
3
時，問是否存在經(jīng)過點（0，2）的直線m與曲線C相交于P，Q兩點，使原點O位于以線段PQ為直徑的圓上？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2；
（2）設函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，如果關于x的不等式f（x）≥a-（x-2）2在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c的圖象過點（0，-2），且在x=1處切線的斜率為3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的在區(qū)間[t，t+1]上不單調(diào)，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若對任意的x1∈（0，1），x2∈（0，
1
2
），都有f（x1）+2＜logax2（其中a＞0且a≠1）成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設公差不為零的等差數(shù)列{an}的各項均為整數(shù)，Sn為其前n項和，且滿足
a2a3
a1
=-
5
4
，S7=7．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）試求所有的正整數(shù)m，使得
am+1am+2
am
為數(shù)列{an}中的項．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=x+m與曲線x2+y2=4交于不同的兩點A，B，若|AB|≥2
3
，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
1
2
x，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
2
B、
5
C、
5
4
D、2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案