Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+1．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[e^-2，e²]上的最大值與最小值；
（2）若x＞1時，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=kx上方，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)n∈N^*時，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得f'（x）=lnx+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在x∈[e^-2，e²]上的最大值與最小值．
（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時，y=f（x）的圖象恒在直線y=kx的上方，等價于x∈（1，+∞）時，不等式xlnx+1＞kx恒成立．
（3）由（2）知，當(dāng)x∈（1，+∞）時，xlnx+1＞x?lnx＞1-

1

x

，令x=

n+1

n

，得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，由此能證明ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

解答： （1）解：∵f（x）=xlnx+1，
∴定義域為（0，+∞），且f'（x）=lnx+1，…（1分）
當(dāng)x∈[e^-2，e^-1]時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈[e^-1，e²]時，f'（x）＞0，
∴f（x）在x∈[e^-2，e^-1]為為減函數(shù)，在x∈[e^-1，e²]上為增函數(shù)，…（3分）
∴f（x）_min=f（e^-1）=1-e^-1，…（4分）
f(x)max=max{f(e-2)，f(e2)}=f(e2)=1+2e2．…（5分）
（2）解：當(dāng)x∈（1，+∞）時，y=f（x）的圖象恒在直線y=kx的上方，
等價于x∈（1，+∞）時，不等式xlnx+1＞kx恒成立，
即k＜

xlnx+1

x

=lnx+

1

x

恒成立，
令g（x）=lnx+

1

x

，x∈（1，+∞），則g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上遞增，∴x∈（1，+∞）時，g（x）＞g（1）=1，
∴滿足條件的實數(shù)k的取值范圍是（-∞，1]．
（3）證明：由（2）知當(dāng)x∈（1，+∞）時，
xlnx+1＞x?lnx＞1-

1

x

，…（11分）
令x=

n+1

n

，則ln

n+1

n

＞1-

n

n+1

，
化簡得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，…（13分）
∴l(xiāng)n2-ln1＞

1

2

，ln3-ln2＞

1

3

，…，ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，
∴l(xiāng)n（n+1）=[ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））+…+（ln2-ln1）+ln1
=

1

n+1

+

1

n

+…+

1

2

，
即ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．