【題目】已知定點,圓
,點
為圓
上動點,線段
的垂直平分線交
于點
,記
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)過點與
作平行直線
和
,分別交曲線
于點
、
和點
、
,求四邊形
面積的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由中垂線的性質(zhì)得,可得出
,符合橢圓的定義,可知曲線
是以
、
為焦點的橢圓,由此可得出曲線
的方程;
(2)設(shè)直線的方程為
,設(shè)點
、
,將直線
的方程與曲線
的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用弦長公式計算出
,同理得出
,并計算出兩平行直線
、
的距離,可得出四邊形
的面積關(guān)于
的表達(dá)式,然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出四邊形
面積的最大值.
(1)由中垂線的性質(zhì)得,
,
所以,動點的軌跡是以
、
為焦點,長軸長為
的橢圓,
設(shè)曲線的方程為
,則
,
,
因此,曲線的方程為:
;
(2)由題意,可設(shè)的方程為
,
聯(lián)立方程得,
設(shè)、
,則由根與系數(shù)關(guān)系有
,
所以,
同理,
與
的距離為
,
所以,四邊形的面積為
,
令,則
,得
,
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在
上為增函數(shù),
所以,函數(shù)在
上為減函數(shù),
當(dāng)且僅當(dāng),即
時,四邊形
的面積取最大值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年7月,中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間T(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(
表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>______;經(jīng)過測定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的
至
,據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在5730年到______年之間.(參考數(shù)據(jù):
,
,
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)
同時滿足以下條件:①
在
上為減函數(shù),
上是增函數(shù);②
是偶函數(shù);③
在
處的切線與直線
垂直.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),若對
,使
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
底面
,
,
為線段
的中點.
(1)若為線段
上的動點,證明:平面
平面
;
(2)若為線段
,
,
上的動點(不含
,
),
,三棱錐
的體積是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)是定義在
上的偶函數(shù),周期是4,當(dāng)
時,
.則方程
的根的個數(shù)為( )
A.3B.4C.5D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的個數(shù)為( )
①“為真”是“
為真”的充分不必要條件;
②若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1,則
的平均數(shù)為2;
③在區(qū)間上隨機取一個數(shù)
,則事件“
”發(fā)生的概率為
④已知隨機變量服從正態(tài)分布
,且
,則
.
A.4B.3C.2D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段
上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡c交于
兩點,T為C上異于
的任意一點,直線
,
分別與直線
交于
兩點,以
為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的極坐標(biāo)方程及曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若是直線
上一點,
是曲線
上一點,求
的最大值.
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