Question

已知橢圓：.

(1) 橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.

①證明直線與軸交點的位置與無關(guān)；

  ②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；

(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

Answer 1

解：（1）①因為,M (m,)，且，            

直線AM的斜率為k1=,直線BM斜率為k2=,

直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y= ,      

由得，

                

由得，

；                              

據(jù)已知，，

直線EF的斜率    

直線EF的方程為  ,        

令x=0,得 EF與y軸交點的位置與m無關(guān).                    

②,,,

,，,          

 ，

整理方程得，即，

又有，， ，為所求.            

(2) 因為直線,且都過點,所以設(shè)直線,

直線,                                …

所以圓心到直線的距離為,

所以直線被圓所截的弦；

由,所以

  所以         

所以

當(dāng)時等號成立,

此時直線