Question

設(shè)，其中，且（為自然對數(shù)的底數(shù)）

（I）求與的關(guān)系；

（II）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（III）證明：

    ① ；

    ② .

Answer 1

解：（I）由題意知，

又，

∴，

∴ ，即，

而，

∴ . 

（II）由（I）知，

，

令，要使在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足：或恒成立.

① 當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，

∴在內(nèi)為單調(diào)遞減，故適合題意.

② 當(dāng)時(shí)，，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為， ∴.

只需，即時(shí)，，

∴在內(nèi)為單調(diào)遞增，

故適合題意.  

③當(dāng)時(shí)，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為.

只需，即時(shí)在恒成立.

故適合題意. 

綜上可得，或.   

（III）證明：①即證明 ，

設(shè)，，

∴ 時(shí)，，∴ 為單調(diào)遞增函數(shù)；

時(shí)，，∴ 為單調(diào)遞減函數(shù)；

為的極大值點(diǎn).
    ∴, 即∴

② 由（I）知，又，

設(shè)，則， ∴.

∵ ，   ∴

∴ ，

∴，

∴ 結(jié)論成立.