Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）＜10對(duì)x∈（-1，3）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+|x-2|=

x2+x-2(x≥2) x2-x+2(x＜2)

，作出函數(shù)圖象，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）依題意，可得x²-10＜a-x＜10-x²，即

a＞x2+x-10① a＜-x2+x+10②

，對(duì)①，令g（x）=x²+x-10，易求g（x）_max=g（3）=2，于是可得a≥2；同理可求h（x）=-x²+x+10=-(x-

1

2

)2+

41

4

的最小值h（x）_min=h（3）=4，得到a≤4，兩者聯(lián)立可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+|x-2|=

x2+x-2(x≥2) x2-x+2(x＜2)

，

∴原函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，

1

2

），增區(qū)間為（

1

2

，+∞）；
（Ⅱ）∵x∈（-1，3），∴f（x）＜10可變?yōu)閤²-10＜a-x＜10-x²，
即

a＞x2+x-10① a＜-x2+x+10②

，
對(duì)①，令g（x）=x²+x-10，其對(duì)稱軸為x=-

1

2

，
∴g（x）_max=g（3）=2，∴a≥2；③
對(duì)②，令h（x）=-x²+x+10=-(x-

1

2

)2+

41

4

，其對(duì)稱軸為x=

1

2

，
∴h（x）_min=h（3）=4，∴a≤4④，
由③④知：2≤a≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)恒成立問題，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．