Question

在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁＝1，且a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n＋1＝2b_n－1，且b₁＝3.

(1)求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S_n與1－的大�。�

Answer 1

解：(1)因?yàn)?i>a₁＝1，且a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，

所以a＝a₁·a₅，即(1＋d)²＝1·(1＋4d)，

所以d²－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)，

所以a_n＝1＋2(n－1)＝2n－1.

因?yàn)?i>b_n＋1＝2b_n－1，所以b_n＋1－1＝2(b_n－1)，

所以{b_n－1}是首項(xiàng)為b₁－1＝2，公比為2的等比數(shù)列．

所以b_n－1＝2×2^n－1＝2ⁿ.

所以b_n＝2ⁿ＋1.

(2)因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/02/16/01/2015021601591295888378.files/image053.jpg'>

所以，當(dāng)n＝1,2時(shí)，2n＝2ⁿ，S_n＝1－；

當(dāng)n≥3時(shí)，2n<2ⁿ，S_n<1－.