Question

已知f（x）=x²-2ax+2．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為2ax＜x²+2在區(qū)間[2，+∞）上恒成立令g（x）=

x

2

+

1

x

，得出g（x）的最小值是

3

2

，從而求出a的范圍；
（Ⅱ）先求出△=4a²-8，再分別討論△＜0，△=0，△＞0時(shí)的情況，從而求出不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-2ax+2＞0 在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，
即2ax＜x²+2，
∵x≥2，∴a＜

x

2

+

1

x

，
令g（x）=

x

2

+

1

x

，∴g（x）=

x2-2

2x2

，
∵x≥2，∴g′（x）＞0，
所以g（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
所以g（x）的最小值是

3

2

．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

3

2

）．
（Ⅱ）∵△=4a²-8，
∴△＜0，即-

2

＜a＜

2

時(shí)，原不等式解集為∅，
△=0，即a=±

2

時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有2個(gè)不等實(shí)根，
當(dāng)a=

2

時(shí)，原不等式的解集為{x|x=

2

}，
當(dāng)a=-

2

時(shí)，原不等式的解集為{x|x=-

2

}，
△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

時(shí)，
原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
分別為x₁=a-

a2-2

，x₂=a+

a2-2

，且x₁＜x₂，
∴原不等式的解集為{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．
綜上，當(dāng)-

2

＜a＜

2

時(shí)，不等式的解集為∅；
當(dāng)a=

2

時(shí)，不等式的解集為{x|x=

2

}；
當(dāng)a=-

2

時(shí)，不等式的解集為{x|x=-

2

}；
當(dāng)a＞

2

或a＜-

2

時(shí)，不等式的解集為{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求參數(shù)的范圍，求不等式的解集，是一道中檔題．