已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在點P，使得過點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】分析：（1）直接根據(jù)條件列出，解方程求出b，c即可得到橢圓C的方程；
（2）先根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關于點P坐標的等式；再結合點P在橢圓上即可求出點P的坐標．
解答：解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意 …（3分）
∴b=2，…（4分）
∴所求橢圓方程為． （5分）
（2）設P點坐標為（x，y），
依題意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP為矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP為正方形，則有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|= 有2=
兩邊平方得x2+y2=8…①（9分）
又因為P（x，y）在橢圓上，所以4x2+9y2=36…②
①，②聯(lián)立解得， （11分）
所以滿足條件的有以下四組解
，，，．
所以，橢圓C上存在四個點（），（，-），（-，），（-，-），
分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直．（14分）
點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第二問的關鍵在于根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關于點P坐標的等式．
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已知橢圓C:+y2=1,則與橢圓C關于直線y=x成軸對稱的曲線的方程是____________.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年陜西省高考數(shù)學壓軸卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2線與圓x2+y2=b2相切于點A，并與橢圓C交與不同的兩點P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣西桂林市、崇左市、防城港市高考第一次聯(lián)合模擬理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

 如圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F、F，A是橢圓C上的一點，AF⊥FF，O是坐標原點，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命題“設圓x+y=t上任意點M（x，y）處的切線交橢圓C于Q、Q兩點，那么OQ⊥OQ”成立.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省攀枝花市高三12月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點T，P為上異于T的任一點，直線分別與橢圓交于M、N兩點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省高三上學期摸底考試文科數(shù)學 題型：解答題

（本題滿分14分）已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一

 

個端點到右焦點的距離為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C上的動點P引圓O：的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

 

 

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