Question

在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC上一點，且PE=

1

2

EC，F為AB上一點，且AF=2FB，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若Q為側棱PC中點，求二面角Q-BD-C的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）在PD上取一點G，使PG=

1

2

GD，四邊形AFEG為平行四邊形由此能證明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取CD中點H，連BH，QH．取BD中點O，連HO，QO．∠QOH為二面角Q-BD-C的平面角，由此能求出二面角Q-BD-C的正切值．

解答： （本小題10分）
（Ⅰ）證明：在PD上取一點G，使PG=

1

2

GD，
∵PE=

1

2

EC，∴EG∥CD，
∴EG=

1

3

CD=

2

3

，AF=

2

3

AB=

2

3

，
∴AF∥CD，AF∥EF，AF=EF，
∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴AG∥EF，
∵EF?平面PAD，AG?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）解：取CD中點H，
連BH，QH．取BD中點O，連HO，QO．
∵AB=AD=PD=1，CD=2，
∴DH=BH，DQ=BQ，
∴OQ⊥BD，HO⊥BD，
∴∠QOH為二面角Q-BD-C的平面角．
在Rt△QOH中，QH=

1

2

，HO=

2

2

，
∴tan∠QOH=

QH

OH

=

2

2

故二面角Q-BD-C的正切值為

2

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．