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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)(an,Sn)都在直線2x-y-2=0的圖象上.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出{bn}的通項(xiàng)公式;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)由題意得2an-Sn-2=0可得當(dāng)n≥2時(shí)由2an-Sn-2=0,2an-1-Sn-1-2=0兩式相減可得即an=2an-1可證
(2)假設(shè)存在等差數(shù)列bn,使得a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2對(duì)一切n∈N*都成立,則n=1時(shí),b1,當(dāng)n≥2時(shí)由a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2,a1b1+a2b2+an-1bn-1=(n-1-1)•2n+2,兩式相減可求
解答:解:(I)由題意得2an-Sn-2=0(2分)
當(dāng)n=1時(shí),2a1-S1-2=0得a1=2
當(dāng)n≥2時(shí)由2an-Sn-2=0(1)得2an-1-Sn-1-2=0(2)
(1)-(2)得2an-2an-1-an=0即an=2an-1(4分)
因?yàn)閍1=2所以
an
an-1
=2
,
所以an是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列
所以an=2•2n-1=2n(6分)
(2)假設(shè)存在等差數(shù)列bn,使得a1b1+a2b2++anbn=(n-1)•2n+1+2對(duì)一切n∈N*都成立
則當(dāng)n=1時(shí),a1b1=(1-1)•21+2得b1=1(8分)
當(dāng)n≥2時(shí)由a1b1+a2b2++anbn=(n-1)•2n+1+2(3)
得a1b1+a2b2+an-1bn-1=(n-1-1)•2n+2(4)
(3)-(4)得anbn=n•2n即bn=n(10分)
當(dāng)n=1時(shí)也滿足條件,所以bn=n(11分)
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列{bn},故存在bn=n(n∈N*)滿足條件(13分)
點(diǎn)評(píng):本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,解題中要注意對(duì)n=1的檢驗(yàn)不要漏掉,還要注意等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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19、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2(n∈N*),數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且滿足b1=a1,2b3=b4
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
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(1)求k的值及通項(xiàng)公式an
(2)求Sn

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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