Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一點．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱錐A-CDE的體積；
（3）在（2）的條件下，求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

（方法一）（1）證明：連接AC，則AC⊥BD…（1分），
因為BB₁⊥面ABCD，所以，BB₁⊥AC…（2分），
因為BB₁∩BD=B，所以AC⊥平面BB₁D…（3分），
所以AC⊥B₁D…（4分）．
（2）解：連接A₁D，與（1）同理可知A₁D⊥AE…（6分），
從而，…（7分），
所以…（8分）
（3）解：設(shè)A₁D∩AE=F，AC∩BD=O，B₁D∩OE=G，連接FG，
則AE⊥FG…（9分），所以∠DFG是二面角D-AE-C的平面角…（10分），
由等面積關(guān)系知…（11分），…（12分），
由（2）知，…（13分），
∴…（14分）．
（方法二）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系…（1分）．
（1）證明：依題意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，2）…（3分），
所以，…（4分），
所以，，所以AC⊥B₁D…（5分）．
（2）解：設(shè)E（0，0，a），則…（6分），
因為B₁D⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以B₁D⊥AE…（7分），
所以，所以-1+2a=0，…（8分），所以…（9分）
（3）解：平面ADE的一個法向量為…（10分），
平面ACE的一個法向量為…（12分），
由圖知，二面角D-AE-C的平面角的余弦值為…（14分）．
分析：（方法一）（1）證明AC⊥B₁D，只需證明AC⊥平面BB₁D；
（2）證明A₁D⊥AE，求出，從而可求三棱錐A-CDE的體積；
（3）設(shè)A₁D∩AE=F，AC∩BD=O，B₁D∩OE=G，連接FG，證明∠DFG是二面角D-AE-C的平面角，由等面積關(guān)系求出DG，DF，從而可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．
（方法二）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系
（1）證明，可得，從而AC⊥B₁D；
（2）設(shè)E（0，0，a），利用B₁D⊥平面ACE，可得，從而可求體積；
（3）平面ADE的一個法向量為，面ACE的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．
點評：本題考查線線垂直，考查三棱錐的條件，考查面面角，兩法并舉，注意體會．