Question

（文科）已知圓O的半徑為r，A是圓所在平面內一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點Q，當P在圓上運動時，點Q的軌跡可能是下列圖形中的

 

（填寫所有可能圖形的序號）
1．雙曲線；2．點；3．圓；4．直線；5．橢圓；6．雙曲線的一支；7．拋物線．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可得，點A可能在圓的外部，可能在圓的內部（但不和點O重合）、可能和點O重合、也可能在圓上，在這四種情況下，分別求出點Q的軌跡方程，即可得到答案．

解答： 解：（1）當點A為⊙O外一定點，P為⊙O上一動點，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，
則QA=QP，則QA-Q0=QP-QO=OP=r．
即動點Q到兩定點A、O的距離差為定值r＜OA，
根據雙曲線的定義，可得點Q的軌跡是：以O，A為焦點，r為實軸長的雙曲線的一支．
故6滿足條件．
（2）當A為⊙O內一定點，且A不與點O重合，∵P為⊙O上一動點，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則QA=QP，
QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的軌跡是：以O，A為焦點，r為長軸的橢圓，
故5滿足條件．
（3）當點A和原點O重合時，線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則QA=QP，
點Q是線段OP的中點，故有OQ=

1

2

OP=

r

2

，
故Q的軌跡是：以O為圓心，以

r

2

為半徑的圓，故3滿足條件．
（4）當點A在圓上時，線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則Q和點O重合，
故Q的軌跡是點O，為一個點，故2滿足條件．
故答案為：2、3、5、6．

點評：本題主要考查圓、橢圓、雙曲線的定義，軌跡方程的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，是中檔題．