Question

【題目】已知函數(shù)，斜率為的直線與相切于點(diǎn).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，討論的極值點(diǎn)．

（Ⅲ）證明：.

Answer 1

【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,(2) 當(dāng)時(shí)，的極小值點(diǎn)為=1，極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)為=1，極小值點(diǎn);(3)見解析.

【解析】

（1）（1）把f（x）代入h（x），對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究h（x）的單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；（2）已知實(shí)數(shù)0＜a＜1，對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令g′（x）=0，得出極值點(diǎn)，這時(shí)方程g′（x）=0的兩個(gè)根大小不一樣，需要進(jìn)行討論，然后再確定極大值和極小值點(diǎn)；（3）結(jié)合（1）通過討論x的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

（Ⅰ）由題意知：

，

，

解得：；解得：

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（Ⅱ）=

，

，

由g′（x）=0得x1=﹣1，x2=1，

1、若0＜﹣1＜1，a＞0即＜a＜1，0＜x1＜x2，

此時(shí)g（x）的極小值為x=1，極大值點(diǎn)x=﹣1，

2、若﹣1=1，a＞0，即a=，x1=x2=1，則g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增區(qū)間，無極值點(diǎn)，

3、若﹣1＞1，a＞0即0＜a＜，x1＞x2=1，

此時(shí)g（x）的極大值點(diǎn)為x=1，極小值點(diǎn)x=﹣1，

綜上：當(dāng)＜a＜1時(shí)，g（x）的極小值點(diǎn)為x=1，極大值點(diǎn)x=﹣1；

當(dāng)a=時(shí)，g（x）無極值點(diǎn)為x=1，極小值點(diǎn)x=；

當(dāng)0＜a時(shí)，g（x）的極大值點(diǎn)為x=1，極小值點(diǎn)x=﹣1；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知：

當(dāng)時(shí),

，即

當(dāng)時(shí)，

，

當(dāng)時(shí)

，

所以