【題目】已知函數(shù),斜率為
的直線與
相切于
點(diǎn).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),討論
的極值點(diǎn).
(Ⅲ)證明:.
【答案】(1)在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,(2) 當(dāng)
時(shí),
的極小值點(diǎn)為
=1,極大值點(diǎn)
;當(dāng)
時(shí),
無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)
時(shí),
的極大值點(diǎn)為
=1,極小值點(diǎn)
;(3)見解析.
【解析】
(1)(1)把f(x)代入h(x),對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)區(qū)間,注意函數(shù)的定義域;(2)已知實(shí)數(shù)0<a<1,對(duì)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),令g′(x)=0,得出極值點(diǎn),這時(shí)方程g′(x)=0的兩個(gè)根大小不一樣,需要進(jìn)行討論,然后再確定極大值和極小值點(diǎn);(3)結(jié)合(1)通過討論x的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
(Ⅰ)由題意知:
,
,
解得:
;
解得:
所以在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減
(Ⅱ)=
,
,
由g′(x)=0得x1=﹣1,x2=1,
1、若0<﹣1<1,a>0即
<a<1,0<x1<x2,
此時(shí)g(x)的極小值為x=1,極大值點(diǎn)x=﹣1,
2、若﹣1=1,a>0,即a=
,x1=x2=1,則g′(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增區(qū)間,無(wú)極值點(diǎn),
3、若﹣1>1,a>0即0<a<
,x1>x2=1,
此時(shí)g(x)的極大值點(diǎn)為x=1,極小值點(diǎn)x=﹣1,
綜上:當(dāng)<a<1時(shí),g(x)的極小值點(diǎn)為x=1,極大值點(diǎn)x=
﹣1;
當(dāng)a=時(shí),g(x)無(wú)極值點(diǎn)為x=1,極小值點(diǎn)x=
;
當(dāng)0<a時(shí),g(x)的極大值點(diǎn)為x=1,極小值點(diǎn)x=
﹣1;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知:
當(dāng)時(shí),
,即
當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí)
,
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F的直線
交拋物線于A,B兩點(diǎn),設(shè)AB的中點(diǎn)為M,A,B,M在準(zhǔn)線上的射影分別為C,D,N.
(1)求直線FN與直線AB的夾角的大�。�
(2)求證:點(diǎn)B,O,C三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就,書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑,如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體,已知平面
,四邊形
為正方形,
,
,若鱉臑
的外接球的體積為
,則陽(yáng)馬
的外接球的表面積等于______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,且
與
交于
,
兩點(diǎn),已知點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
.
(1)求曲線的普通方程和直線
的直角坐標(biāo)方程,并求
的值;
(2)若矩形內(nèi)接于曲線
且四邊與坐標(biāo)軸平行,求其周長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知,
,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)已知,不等式
(其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))對(duì)任意的實(shí)數(shù)
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
且斜率為
的直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明:點(diǎn)在
軸的右側(cè);
(2)設(shè)線段的垂直平分線與
軸、
軸分別相交于點(diǎn)
.若
與
的面積相等,求直線
的斜率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(
為常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線
在
處的切線方程;
(2)若函數(shù)在
內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍,并判斷
是
在
內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),
,…,
為1,2,…,10的一個(gè)排列,則滿足對(duì)任意正整數(shù)m,n,且
,都有
成立的不同排列的個(gè)數(shù)為( )
A.512B.256C.255D.64
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓
:
的離心率為
,
是橢圓
的右焦點(diǎn),直線
的斜率為
,
為坐標(biāo)原點(diǎn). 設(shè)過點(diǎn)
的動(dòng)直線
與
相交于
兩點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)是否存在這樣的直線,使得
的面積為
,若存在,求出
的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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