Question

如圖,在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB⊥側(cè)面BB₁C₁C,E為棱CC₁上異于C、C₁的一點(diǎn),EA⊥EB₁.已知AB=,BB₁=2,BC=1,∠BCC₁=,求:

(1)異面直線AB與EB₁的距離;

(2)二面角A—EB₁—A₁的平面角的正切值.

Answer 1

解:(1)以B為原點(diǎn), 、分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

    由于BC=1,BB₁=2,AB=,∠BCC₁=,

    在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,有B(0,0,0),A(0,0,),B₁(0,2,0),C(,-,0),C₁(,,0).

    設(shè)E(,a,0),

    由EA⊥EB₁,得·=0,即

0=(-,-a,)·(-,2-a,0)=+a(a-2)=a²-2a+,

    得(a-)(a-)=0,即a=或a=(舍去).

    故E(,,0).

·=(,,0)·(-,,0)=-+=0,即BE⊥EB₁.

    又AB⊥面BCC₁B₁,故AB⊥BE.

    因此BE是異面直線AB、EB₁的公垂線,

    則||==1.

    故異面直線AB、EB₁的距離為1.

(2)由已知有⊥,⊥,所以二面角A—EB₁—A₁的平面角θ的大小為向量與的夾角.

    因==(0,0,),=(-,-,),

    故cosθ==,即tanθ=.