Question

“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項(xiàng)社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：被邀請(qǐng)者要么在24小時(shí)內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機(jī)構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動(dòng)，若被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請(qǐng)另外3個(gè)人參與這項(xiàng)活動(dòng)．假設(shè)每個(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響．
（1）若某被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)后，對(duì)其他3個(gè)人發(fā)出邀請(qǐng)，則這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？
（2）假定（1）中被邀請(qǐng)到的3個(gè)人中恰有兩個(gè)接受挑戰(zhàn)，根據(jù)活動(dòng)規(guī)定，現(xiàn)記X為接下來被邀請(qǐng)到的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知得每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率是

1

2

，不接受挑戰(zhàn)的概率也是

1

2

，由此能求出這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率．
（Ⅱ）X為接下來被邀請(qǐng)的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，由此得X～B（6，

1

2

），從而能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）∵每個(gè)人接受挑戰(zhàn)和不接受挑戰(zhàn)是等可能的，
∴每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率是

1

2

，不接受挑戰(zhàn)的概率也是

1

2

，
設(shè)事件M為“這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)”，
則P（M）=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)+

C

3 3

(

1

2

)3=

1

2

．
（Ⅱ）∵X為接下來被邀請(qǐng)的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，∴X～B（6，

1

2

），
P（X=0）=

C

0 6

(

1

2

)6=

1

64

，P（X=1）=

C

1 6

(

1

2

)(

1

2

)5=

3

32

，
P（X=2）=

C

2 6

(

1

2

)2(

1

2

)4=

15

64

，P（X=3）=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3=

5

16

，
P（X=4）=

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

64

，P（X=5）=

C

5 6

(

1

2

)5(

1

2

)=

3

32

，
P（X=6）=

C

6 6

(

1

2

)6=

1

64

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	1 64	3 32	15 64	5 16	15 64	3 32	1 64

∴EX=0×

1

64

+1×

3

32

+2×

15

64

+3×

5

16

+4×

15

64

+5×

3

32

+6×

1

64

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．