若動點P，Q分別在曲線y=
1
x
和直線2x+y=0上運動，則線段PQ長的最小值為
2
10
5
2
10
5
．
分析：根據(jù)圖形的對稱性，只須考慮曲線在第一象限的切線，如圖，設與直線2x+y=0平行且在第一象限與曲線y=
1
x
相切的直線方程為：y=-2x+b，切點為A（m，n），只須求出它到直線2x+y=0的距離線段PQ長的最小值．
解答：解：如圖，設與直線2x+y=0平行且在第一象限與曲線y=
1
x
相切的直線方程為：y=-2x+b，切點為A（m，n），
∵y=
1
x
，∴y′=-
1
x 2
，
根據(jù)切線的幾何意義得：-
1
m 2
=-2⇒m=
2
2

∴切點為A（
2
2
，
2
），
它到直線2x+y=0的距離為：d=
2
2
5
=
2
10
5

則線段PQ長的最小值為
2
10
5

故答案為：
2
10
5
．
點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，點到直線的距離公式的應用，注意線段PQ 取最小值時的條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2
2
．
（1）求異面直線PC與AD所成角的大��；
（2）若平面ABCD內有一經過點C的曲線E，該曲線上的任一動點Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等PC與AD所成角．試判斷曲線E的形狀并說明理由；
（3）在平面ABCD內，設點Q是（2）題中的曲線E在直角梯形ABCD內部（包括邊界）的一段曲線CG上的動點，其中G為曲線E和DC的交點．以B為圓心，BQ為半徑的圓分別與梯形的邊AB、BC交于M、N兩點．當Q點在曲線段GC上運動時，試提出一個研究有關四面P-BMN的問題（如體積、線面、面面關系等）并嘗試解決．
（說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質量和解決難度分層評分；本小題的計算結果可以使用近似值，保留3位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2．
（1）求異面直線PC與AD所成角的大��；
（2）若平面ABCD內有一經過點C的曲線E，該曲線上的任一動點Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等PC與AD所成角．試判斷曲線E的形狀并說明理由；
（3）在平面ABCD內，設點Q是（2）題中的曲線E在直角梯形ABCD內部（包括邊界）的一段曲線CG上的動點，其中G為曲線E和DC的交點．以B為圓心，BQ為半徑的圓分別與梯形的邊AB、BC交于M、N兩點．當Q點在曲線段GC上運動時，試提出一個研究有關四面P-BMN的問題（如體積、線面、面面關系等）并嘗試解決．
（說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質量和解決難度分層評分；本小題的計算結果可以使用近似值，保留3位小數(shù)）

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