Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx，g（x）=ax³-3bx-4a+b，其中a＞0，b∈R，
（1）證明：當0≤x≤2時，函數(shù)g（x）的最大值為|4a-3b|-2b；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤16，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,分段函數(shù)的應用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)：g′（x），g（0），g（2），討論b≤0，b＞0①b≥4a，②b＜4a再分4a≥3b，4a＜3b，求出最大值即可判斷；
（2）對任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤16等價為16≥f（x）_max-f（x）_min，討論對稱軸x=-

b

2

與區(qū)間[-2，2]的關系，運用單調(diào)性即可求出最值，即可得到b的取值范圍．

解答： （1）證明：g′（x）=3ax²-3b（a＞0），g（0）=b-4a，g（2）=8a-6b-4a+b=4a-5b，
若b≤0，則g′（x）＞0，g（x）在[0，2]遞增，g（2）最大，且為4a-5b，即為|4a-3b|-2b；
若b＞0，則g′（x）=0，x²=

b

a

，
①

b a

≥2，即b≥4a，[0，2]遞減，g（0）最大，且為b-4a，也為|4a-3b|-2b；
②

b a

＜2，即b＜4a，由于g（2）-g（0）=2（4a-3b），
若4a≥3b，則g（2）最大，且為4a-5b，即為|4a-3b|-2b；
若4a＜3b，則取g（0）最大，即為b-4a，且為|4a-3b|-2b．
故當0≤x≤2時，函數(shù)g（x）的最大值為|4a-3b|-2b．
（2）解：對任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤16等價為
16≥f（x）_max-f（x）_min，
①當-

b

2

∈[-2，2]，f（x）_min=-

b2

4

，f（2）=4+2b，f（-2）=4-2b，
則

0≤b≤4 16≥4+2b+ b2 4

即

-12≤b≤4 0≤b≤4

，即0≤b≤4；
或

-4≤b≤0 16≥4-2b+ b2 4

即

-4≤b≤0 -4≤b≤12

，即-4≤b≤0；
②當-

b

2

＞2，即b＜-4，16≥f（-2）-f（2），即16≥-4b，即有b≥-4，不成立；
③當-

b

2

＜-2，即b＞4，16≥f（2）-f（-2）即16≥4b，b≤4，不成立．
故b的取值范圍是[-4，4]．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合運用：求單調(diào)區(qū)間，求極值和最值，同時考查分類討論的思想方法，以及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，屬于中檔題．