Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，有2a_n=S_n+n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)f（n）=n² （n∈N^*），試比較S_n與f（n）的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=1時，2a₁=a₁+1∴a₁=1…（1分）
∵2a_n=S_n+n，n∈N^*，∴2a_n-1=S_n-1+n-1，n≥2，
兩式相減得a_n=2a_n-1+1，n≥2，即a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
令b_n=a_n+1，則，n≥2且b₁=a₁+1=2，
所以b_n=b₁•2^n-1=2×2^n-1=2ⁿ．n∈N^*，
∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=2ⁿ-1，n∈N^*，
得S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=-n
=2ⁿ⁺¹-n-2
當n=1，2時，S_n=f（n）；當n≥3時，S_n＞f（n）…（9分）
只需證2ⁿ⁺¹＞n²+n+2，n≥3，
利用＞=．
∴2ⁿ⁺¹＞n²+n+2，n≥3．…（13分）
分析：（Ⅰ）通過已知條件構(gòu)造新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項公式，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出S_n，通過比較n=1，2，比較S_n與f（n）的大小，猜想n≥3時的結(jié)果，利用二項式定理證明即可．
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，二項式定理證明不等式的應用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想；也可用數(shù)學歸納法證，也可構(gòu)造函數(shù)s（x）=2^x+1，f（x）=x²+x+2，利用導數(shù)證明，方法比較多．