Question

（2013•寧德模擬）一學(xué)生參加市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查活動(dòng)，從某商場(chǎng)得到11月份新款家電M的部分銷售資料．資 料顯示：11月2日開始，每天的銷售量比前一天多t臺(tái)（t為常數(shù)），期間某天由于商 家提高了家電M的價(jià)格，從當(dāng)天起，每天的銷售量比前一天少2臺(tái).11月份前2天 共售出8臺(tái)，11月5日的銷售量為18臺(tái)．
（I）若商家在11月1日至15日之間未提價(jià)，試求這15天家電M的總銷售量．
（II）若11月1日至15日的總銷售量為414臺(tái)，試求11月份的哪一天，該商場(chǎng)售出家電M的臺(tái)數(shù)最多？并求這一天售出的臺(tái)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）由題意，在11月1日至15日之間該商場(chǎng)家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列{a_n}，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解出首項(xiàng)a₁和公差t，從而由等差數(shù)列求和公式得到這15天家電M的總銷售量．
（II）設(shè)從11月1日起，第n天的銷售量最多（1≤n≤30，n∈N^*）．根據(jù)（I）前15天的銷售量大于414，可得n＜15；通過(guò)假設(shè)n=5算出銷售量為120＜414，得n＞5．因此n為大于5而小于15的整數(shù)，因此結(jié)合題中數(shù)據(jù)列出S₁₅關(guān)于n的式子，解方程S₁₅=414，即可得到n=12，可得在11月12日，該商場(chǎng)售出家電M的臺(tái)數(shù)最多，這一天的銷售量為46臺(tái)．

解答：解：（I）根據(jù)題意，商家在11月1日至15日之間家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列{a_n}，
∵

a1+a2=8 a5=18

，∴

2a1+t=8 a1+4t=18

，解之得

a1=2 t=4

因此，這15天家電M的總銷售量為S₁₅=15×2+

15×14

2

×4=450臺(tái)．…（6分）
（II）設(shè)從11月1日起，第n天的銷售量最多，1≤n≤30，n∈N^*
由（I），若商家在11月1日至15日之間未提價(jià)，則這15天家電M的總銷售量為450臺(tái)，
而450＞414不符合題意，故n＜15；
若n=5，則S₁₅=5×2+

5×4

2

×4+10×16+

10×9

2

×(-2)=120＜414，
也不符合題意，故n＞5
因此，前n天每天的銷售量組成一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，第n+1天開始每天的銷售量組成首項(xiàng)為4n-4，
公差為-2的等差數(shù)列．…（10分）
∴S₁₅=[2n+

n(n-1)

2

×4]+[（15-n）（4n-4）+

(15-n)(14-n)

2

×(-2)]=-3n²+93n-270
由已知條件，得S₁₅=414，即-3n²+93n-270=414
解之得n=12或n=19（舍去19）
∴n=12，出售家電M的臺(tái)數(shù)為2+11×4=46臺(tái)
故在11月12日，該商場(chǎng)售出家電M的臺(tái)數(shù)最多，這一天的銷售量為46臺(tái)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出商場(chǎng)家電的銷售量成等差數(shù)列的模型，求家電M哪一天的銷售量為最多．著重考查了函數(shù)、數(shù)列的基本知識(shí)及其應(yīng)用能力，考查了函數(shù)方程思想和轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用，屬于中檔題．