Question

設函數(shù)f（x）=x+

λ

x

，其中常數(shù)λ＞0．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）若λ=1，判斷f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）是否存在正的常數(shù)λ，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x+

λ

x

的定義域{x|x≠0}關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)；
（2）當λ=1時，f（x）=x+

1

x

，利用導數(shù)法，可得當x∈[1，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由函數(shù)f（x）=x+

λ

x

，可得f′（x）=1-

λ

x2

=

x2-λ

x2

，由x∈（0，

λ

）時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）=x+

λ

x

為減函數(shù)，故不存在正的常數(shù)λ，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+

λ

x

的定義域{x|x≠0}關于原點對稱，
且f（-x）=-x+

λ

-x

=-（x+

λ

x

）=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)；
（2）當λ=1時，f（x）=x+

1

x

，
則f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
當x∈[1，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由函數(shù)f（x）=x+

λ

x

，
可得f′（x）=1-

λ

x2

=

x2-λ

x2

，
當x∈（0，

λ

）時，f′（x）＜0，
此時函數(shù)f（x）=x+

λ

x

為減函數(shù)，
故不存在正的常數(shù)λ，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．