【題目】如圖，在四棱錐中，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點，，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)利用勾股定理可得與即可證明平面.

(2)根據(jù)垂直關(guān)系可以建立以為坐標原點的空間直角坐標系,再利用空間向量的方法分別求得平面的一個法向量與平面的一個法向量,再利用二面角的夾角公式求解即可.

（1）因為,所以,同理可得.

因為,所以平面.

（2）因為,所以、、兩兩垂直,以為坐標原點,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為,所以,,,,

因為是的中點,所以,

因為,,所以,

所以,.

設(shè)平面的一個法向量為,

由,得,

取,得.

取的中點,連接,易證平面,

則平面的一個法向量為.設(shè)二面角的平面角為,

由圖知,所以,

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，.

（1）平面；

（2）平面；

（3）是棱的中點，棱上存在一點，使.

正確命題的序號為______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個端點分別為、，為橢圓上異于、的動點，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點，過點作傾斜角互補的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點和點，求的面積的最大值.

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【題目】某學校近幾年來通過“書香校園”主題系列活動，倡導學生整本閱讀紙質(zhì)課外書籍.下面的統(tǒng)計圖是該校2013年至2018年紙質(zhì)書人均閱讀量的情況，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，下列推斷不合理的是（ ）

A.從2013年到2016年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量逐年增長

B.2013年至2018年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量的中位數(shù)是46.7本

C.2013年至2018年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量的極差是45.3本

D.2013年至2018年，該校后三年紙質(zhì)書人均閱讀量總和是前三年紙質(zhì)書人均閱讀量總和的2倍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）證明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某小區(qū)有一塊矩形地塊，其中，，單位：百米.已知是一個游泳池，計劃在地塊內(nèi)修一條與池邊相切于點的直路（寬度不計），交線段于點，交線段于點.現(xiàn)以點為坐標原點，以線段所在直線為軸，建立平面直角坐標系，若池邊滿足函數(shù)的圖象，若點到軸距離記為.

（1）當時，求直路所在的直線方程；

（2）當為何值時，地塊在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值時多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）試比較與的大小.

（2）若函數(shù)的兩個零點分別為，，

①求的取值范圍；

②證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若關(guān)于的方程在上有兩個解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列4個說法中正確的有（ ）

①命題“若，則”的逆否命題為“若則”；

②若，則；

③若復合命題：“”為假命題，則p，q均為假命題；

④“”是“”的充分不必要條件．

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

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