Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E為PC的中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若AB⊥平面PAD，AD⊥PB，求證：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取PD中點F，連結EF，AF，由已知條件推導出四邊形ABEF是平行四邊形，由此能證明BE∥平面PAD．
（2）由線面垂直得AB⊥PA，AB⊥AD，再由AD⊥PB，得AD⊥平面PAB，進而得到AD⊥PA，由此能證明PA⊥平面ABCD．

解答： （1）證明：取PD中點F，連結EF，AF，
∵在四棱錐P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E為PC的中點，
∴EF

∥

.

1

2

DC，∴EF

∥

.

AB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AF∥BE，
又AF?平面PAD，BE不包含平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）證明：∵AB⊥平面PAD，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥PA，AB⊥AD，
∵AD⊥PB，又PB∩AB=B，
∴AD⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴AD⊥PA，
∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．