Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，，.

（Ⅰ）判斷平面與平面是否垂直，并給出證明；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用反證法證明，假設(shè)面PBC⊥面PCD，過點B作BQ⊥PC于Q，由面面垂直的性質(zhì)可得BQ⊥CD，知BC⊥CD，則CD⊥PC，由平面底面，則CD⊥PD，出現(xiàn)矛盾；（Ⅱ）取AD中點O，連PO，OB，證明OA、OB、OP兩兩互相垂直，以OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如空間直角坐標系O﹣xyz，分別求面PAB與面PBC的法向量，由兩法向量所成角余弦值可得二面角A﹣PB﹣C余弦值．

（Ⅰ）平面與平面不垂直.證明如下：

假設(shè)平面平面，過點作于

∵平面平面，平面平面

∴平面

∴

在直角梯形中，由，知

又∵

∴ 平面，故

∵ 平面底面，平面底面，

∴ 平面∴

在中，不可能有兩個直角，所以假設(shè)不成立

（Ⅱ）設(shè)的中點為，連接，

∵∴

∵ 平面底面，平面底面

∴底面

∵在直角梯形中，，∴

以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標系

∵，，

∴，，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量為

由， 取

同理可得平面的法向量

∴.

由圖形可知，所求二面角為鈍角

∴二面角的余弦值