【題目】如圖,四棱錐中,底面
為直角梯形,
,
,平面
底面
,
,
.
(Ⅰ)判斷平面與平面
是否垂直,并給出證明;
(Ⅱ)若,
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)利用反證法證明,假設(shè)面PBC⊥面PCD,過點(diǎn)B作BQ⊥PC于Q,由面面垂直的性質(zhì)可得BQ⊥CD,知BC⊥CD,則CD⊥PC,由平面底面
,則CD⊥PD,出現(xiàn)矛盾;(Ⅱ)取AD中點(diǎn)O,連PO,OB,證明OA、OB、OP兩兩互相垂直,以OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,分別求面PAB與面PBC的法向量,由兩法向量所成角余弦值可得二面角A﹣PB﹣C余弦值.
(Ⅰ)平面與平面
不垂直.證明如下:
假設(shè)平面平面
,過點(diǎn)
作
于
∵平面平面
,平面
平面
∴平面
∴
在直角梯形中,由
,
知
又∵
∴ 平面
,故
∵ 平面底面
,平面
底面
,
∴ 平面
∴
在中,不可能有兩個(gè)直角,所以假設(shè)不成立
(Ⅱ)設(shè)的中點(diǎn)為
,連接
,
∵∴
∵ 平面底面
,平面
底面
∴底面
∵在直角梯形中,
,
∴
以、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
∵,
,
∴,
,
,
∴,
,
,
設(shè)平面的法向量為
由, 取
同理可得平面的法向量
∴.
由圖形可知,所求二面角為鈍角
∴二面角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線C上異于 O的兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線AB過點(diǎn)(8,0),求證:直線OA,OB的斜率之積為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn)
,且其離心率為
,過坐標(biāo)原點(diǎn)
作兩條互相垂直的射線與橢圓
分別相交于
,
兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn)
,兩個(gè)焦點(diǎn)為
(
,0),
(
,0).
(1)求橢圓的方程;
(2)求以點(diǎn)
為中點(diǎn)的弦
所在的直線方程,并求此時(shí)
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定正整數(shù),將
分拆成若干個(gè)互異正整數(shù)的和,這些正整數(shù)的乘積記為
.對所有不同的分法,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識(shí)競賽,選手從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題.規(guī)定至少答對其中的2道題才能晉級.甲選手只能答對其中的4道題。
(1)求甲選手能晉級的概率;
(2)若乙選手每題能答對的概率都是,且每題答對與否互不影響,用數(shù)學(xué)期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線
:
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為
,直線
與曲線
的交點(diǎn)為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年全國數(shù)學(xué)奧賽試行改革:在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽,學(xué)生如果其中2次成績達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn),不用參加其余的競賽,而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定:若前4次競賽成績都沒有達(dá)全區(qū)前20名,則第5次不能參加競賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績達(dá)全區(qū)前20名的概率都是,每次競賽成績達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.
(1)求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.
(2)如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競賽的次數(shù)為,求
的分布列及
的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線:
和⊙
,過拋線
上一點(diǎn)
作兩條直線與⊙
相切于A、B兩點(diǎn),分別交拋物線于E、F兩點(diǎn),圓心點(diǎn)
到拋物線準(zhǔn)線的距離為
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng) 的角平分線垂直x軸時(shí),求直線EF的斜率;
(Ⅲ)若直線AB在軸上的截距為
,求
的最小值.
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