Question

已知定義在R內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足下列條件：
①對任意非負(fù)實(shí)數(shù)x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；
②當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＞

1

2

．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件①可令x＞0，y=0，再由條件②，即可得到f（0）；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＞

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2

，即有f（x₂-x₁）＞

1

2

，又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]，由條件①②，結(jié)合單調(diào)性的定義，即可得證．

解答： （1）解：由于對任意非負(fù)實(shí)數(shù)x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y），
令x＞0，y=0，則f（x）=2f（x）f（0），
由于當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＞

1

2

，
則f（0）=

1

2

；
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＞

1

2

，
即有f（x₂-x₁）＞

1

2

，
則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=2f（x₂-x₁）f（x₁）＞2×

1

2

f（x₁），
即有f（x₂）＞f（x₁），
則f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用定義，同時考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．