Question

對于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，則稱函數(shù)為“和諧函數(shù)”，區(qū)間為函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①；②；③； ④．
其中存在唯一“和諧區(qū)間”的“和諧函數(shù)”為                      （     ）

A．①②③

B．②③④

C．①③

D．②③

Answer 1

Ｄ

解析試題分析：對于①，由于函數(shù)的周期是4，正弦函數(shù)的性質(zhì)我們易得，A=[0，1]為函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”；同時當(dāng)A=[-1，0]時也是函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”，∴不滿足唯一性；
對于②，由于=2x²-1，當(dāng)A=[-1，1]時，∈[-1，1]，滿足條件，且由二次函數(shù)的圖象可知，滿足條件的集合只有A=[-1，1]一個．∴=2x²-1滿足題意；
對于③，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]為函數(shù)=|2^x-1|的“和諧區(qū)間”，由指數(shù)函數(shù)的圖象可和，滿足條件的集合只有A=[0，1]一個．∴=|2^x-1|滿足題意；
對于④，由于=ln（x+1）單調(diào)遞增，且函數(shù)的定義域為（-1，+∞），若存在“和諧區(qū)間”，則滿足，∴m，n是方程的兩個根，設(shè)，，當(dāng)x＞0時，＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)-1＜x＜0時，＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，且，故=e^x-x-1=0有且只有一個解，故=ln（x+1）不存在“可等域區(qū)間”．故存在唯一“和諧區(qū)間”的“和諧函數(shù)”為：②③．故選：D．
考點：１．函數(shù)的概念；２．函數(shù)的圖象與性質(zhì)；３．新定義．