【題目】如圖,在六棱錐中,底面
是邊長為
的正六邊形,
.
(1)證明:平面平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)要證明面面垂直,需先證明線面垂直,設(shè),連結(jié)
,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和條件,可證明
平面
;(2)首先證明
,即
、
、
兩兩互相垂直,以
、
、
所在的直線為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系
(如下圖所示),分別求平面
和平面
的法向量
,根據(jù)公式求解
.
解:(1)設(shè),連結(jié)
.
在正六邊形中,根據(jù)對(duì)稱性
為
中點(diǎn),
又,
,
又因?yàn)?/span>,所以
.
又,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
(2)在正六邊形中,
,
所以,
.
又因?yàn)?/span>,所以
.
因?yàn)?/span>,所以
,即
,
所以、
、
兩兩互相垂直.
以、
、
所在的直線為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系
(如圖所示).
則,
,
,
,
,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
.
由得
令
,解得
,
.
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
.
由得
令
,解得
.
所以.
因此.
因?yàn)槎娼?/span>的平面角為鈍角,
故二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的內(nèi)角
、
、
的對(duì)邊分別為
、
、
,且
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,
,如圖,
為線段
上一點(diǎn),且
,求
的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,
平面
,四邊形
是菱形,
,
,且
,
交于點(diǎn)
,
是
上任意一點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)已知二面角的余弦值為
,若
為
的中點(diǎn),求
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
,已知橢圓
的離心率為
,且以線段
為直徑的圓被直線
所截的弦長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)記橢圓的右焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
且斜率為
的直線交橢圓于
兩點(diǎn).若線段
的垂直平分線與
軸交于點(diǎn)
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中m為常數(shù),且
是函數(shù)
的極值點(diǎn).
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅰ)若在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解市民對(duì)電視劇市場的愛好,某上星電視臺(tái)邀請(qǐng)了100位電視劇愛好者(男50人、女50人)對(duì)4月份觀看其播出的電視劇集數(shù)進(jìn)行調(diào)研,得到這100名電視劇愛好者觀看集數(shù)的中位數(shù)為39集(假設(shè)這100名電視劇愛好者的觀看集數(shù)均在集內(nèi)),且觀看集數(shù)在
集內(nèi)的人數(shù)為15,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求,
的值;
(2)有些觀眾喜歡帶有主角光環(huán)意識(shí)來觀劇.但是最近幾年的影視作品里出現(xiàn)了一個(gè)有趣的趨勢(shì)——攻氣十足的女性角色越來越討人喜歡,傻白甜的女主們則破了主角光環(huán),各種被嫌棄,更有些劇集中明明是女配的腳本,卻因?yàn)楦哂写笈鳉鈭�,而獲得了比主角更多的關(guān)注與聲量,如《完美關(guān)系》里的斯黛拉,《精英律師》里的栗娜,《我的前半生》里的唐晶,……已知在這100名電視劇愛好者的女性中有31名認(rèn)為自己有主角光環(huán)意識(shí),男性中有19名認(rèn)為自己有主角光環(huán)意識(shí),根據(jù)以上數(shù)據(jù)請(qǐng)同學(xué)們制作出列聯(lián)表,并且判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為性別與是否觀劇帶有主角光環(huán)意識(shí)有關(guān)系?
參考公式及數(shù)據(jù):,其中
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四棱錐的底面邊長為
,側(cè)棱
,E為側(cè)棱PB上一點(diǎn)且
,在
內(nèi)(包括邊界)任意取一點(diǎn)F,則
的取值范圍為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某度假酒店為了解會(huì)員對(duì)酒店的滿意度,從中抽取50名會(huì)員進(jìn)行調(diào)查,把會(huì)員對(duì)酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分為五個(gè)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):1分(很不滿意);2分(不滿意);3分(一般);4分(滿意);5分(很滿意).其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(住宿滿意度為,餐飲滿意度為
)
(1)求“住宿滿意度”分?jǐn)?shù)的平均數(shù);
(2)求“住宿滿意度”為3分時(shí)的5個(gè)“餐飲滿意度”人數(shù)的方差;
(3)為提高對(duì)酒店的滿意度,現(xiàn)從且
的會(huì)員中隨機(jī)抽取2人征求意見,求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.
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