Question

【題目】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，E為側(cè)棱PB上一點(diǎn)且，在內(nèi)（包括邊界）任意取一點(diǎn)F，則的取值范圍為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，，然后根據(jù)可求得最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，設(shè)平面，根據(jù)，或可知，的最大值是或，通過(guò)計(jì)算比較可得最大值.

如圖：

由可得，

因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，所以，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得等號(hào)，

因?yàn)?/span>，又，所以三角形為等邊三角形，所以，

在三角形中，，

所以的最小值為.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只研究在三角形內(nèi)（包括邊界）的情形，

當(dāng)、、三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，設(shè)平面，顯然（當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立），

又（當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立），或者（當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立），

所以的最大值是或，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

所以，所以（當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào)），

所以的取值范圍是.

故答案為：.