Question

某公司年初花費(fèi)72萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)設(shè)備，并立即投入使用．計(jì)劃第一年維修費(fèi)用為8萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每一年所需維修費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元．現(xiàn)已知設(shè)備使用后，每年獲得的收入為46萬(wàn)元．
（1）若設(shè)備使用x年后的累計(jì)盈利額為y萬(wàn)元，試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（計(jì)盈利額=累計(jì)收入-累計(jì)維護(hù)費(fèi)-設(shè)備購(gòu)置費(fèi)）；
（2）問(wèn)使用該設(shè)備后，才第幾年開(kāi)始盈利（累計(jì)盈利額為正值）？
（3）如果使用若干年后，對(duì)該設(shè)備的處理方案有兩種：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，可折舊按42萬(wàn)元的價(jià)格出售該設(shè)備：當(dāng)累計(jì)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，可折舊按10萬(wàn)元的價(jià)格出售該設(shè)備．問(wèn)用哪種處理方案較為合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，根據(jù)第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，由此可得f（n）的表達(dá)式
（2）由f（n）＞0，即可得到結(jié)論；
（3）方案①利用基本不等式求最值，方案②利用配方法求最值，比較即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得：f（n）=46n-72-[8n+

n(n-1)

2

•4]=-2n²+40n-72（n∈N₊）．…（3分）
（2）由f（n）＞0得：-2n²+40n-72＞0即n²-25n+36＜0，解得2＜n＜18，
由n∈N₊知，從第三年開(kāi)始盈利…（6分）
（3）方案①：年平均純利潤(rùn)

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號(hào)成立．
故方案①共獲利6×16+48=144（萬(wàn)元），此時(shí)n=6．…（10分）
方案②：f（n）=-2（n-10）²+128．當(dāng)n=10時(shí)，f（n）_max=128．
故方案②共獲利128+16=144（萬(wàn)元）．…（13分）
比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)元，但由于第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案更合算．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式與配方法求函數(shù)的最值，屬于中檔題．