Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

x

y

）=f（x）-f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若f（3）=1不等式 f(x)-f(

1

x-8

)≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（1）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若f（3）=1將不等式 f(x)-f(

1

x-8

)≥2進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式即可．

解答： 解：（1）∵定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
令x=y=1，則f(

1

1

)=f(1)-f(1)，
故f（1）=0．
（2）設(shè)任意的0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0⇒f(x1)＜(fx2)，
∴f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．
（3）∵f（3）=1，f(x)-f(

1

x-8

)≥2
∴f（

x

1 x-8

）-f（3）≥f（3），
由（2）知f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
故

x(x-8) 3 ≥3 x＞0 1 x-8 ＞0

⇒

x≤-1，x≥9 x＞0 x＞8

⇒x≥9，
∴原不等式的解集是[9，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．