Question

函數y=f（x）為定義在R上的減函數，函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，x，y滿足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，M（1，2），N（x，y），O為坐標原點，當1≤x≤4時，求出

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式,平面向量數量積的運算

專題：不等式的解法及應用

分析：設P（x，y）為函數y=f（x-1）的圖象上的任意一點，關于（1，0）對稱點為（2-x，-y），可得f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．由于不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0化為f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（y²-2y），再利用函數y=f（x）為定義在R上的減函數，可得x²-2x≥y²-2y，即即

x≥y x+y≥0

或

x≤y x+y-2≤0

又∵1≤x≤4，畫出可行域．M（1，2），N（x，y），O為坐標原點，∴

OM

•

ON

=x+2y=t．進而得出答案．

解答： 解：設P（x，y）為函數y=f（x-1）的圖象上的任意一點，關于（1，0）對稱點為（2-x，-y），
∴f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．
∴不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0化為f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（1-1-2y+y²）=f（y²-2y），
∵函數y=f（x）為定義在R上的減函數，
∴x²-2x≥y²-2y，
化為（x-1）²≥（y-1）²，
∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即y=f（x）為奇函數，
又函數y=f（x）在R上的為減函數，
化為（x-1）²≥（y-1）²，
即

x≥y x+y≥0

或

x≤y x+y-2≤0

又∵1≤x≤4，畫出可行域．
M（1，2），N（x，y），O為坐標原點，∴

OM

•

ON

=x+2y=t．
化為y=-

1

2

x+

t

2

．
由圖可知：當直線y=-

1

2

x+

t

2

經過點A（4，-2）時，t取得最小值0．
當直線y=-

1

2

x+

t

2

經過點B（4，4）時t取得最大值4+2×4=12．
綜上可得：

OM

•

ON

的取值范圍是[0，12]．

點評：本題綜合考查了函數的對稱性、單調性、線性規(guī)劃的可行域及其最值、直線的平移等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．