Question

已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)證明：直線l過定點；

(2)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍；

(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．

Answer 1

解：(1)證明：直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，令，解之得，

∴無論k取何值，直線總經過定點(－2,1)．

(2)由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經過第四象限，則必須有，解之得k>0；當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.

(3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．依題意得解得k>0.

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的條件是k>0且4k＝，即k＝，∴S_min＝4，此時l：x－2y＋4＝0.