Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax+4．
（1）若f（x）在區(qū)間（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)0＜a＜2，f（x）在[1，3]上的最小值為-

1

3

，求函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的最大值點（f（x）的最大值所對應(yīng)的x的值）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f′（x）＞0在（2，+∞）上有解，只需f′（2）＞0即可，當(dāng)a＞1時，f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）解f′（x）=0，得出f（x）在區(qū)間（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增．討論當(dāng)0＜a＜2時，0＜a＜

7

6

時，

7

6

≤a＜2時的情況，從而解決問題．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
即f′（x）＞0在（2，+∞）上有解
因為f′（x）=-x²+x+2a，
所以只需f′（2）＞0即可，
所以由f'（2）=-4+2+2a=2a-2＞0，解得a＞1，
∴當(dāng)a＞1時，f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f′（x）=-x²+x+2a=0，解得：x₁=

1- 1+8a

2

，x₂=

1+ 1+8a

2

，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜a＜2時，x₁＜0，1＜x₂＜3所以f（x）在[1，3]上的最大值點為x=x₂，
∵f（3）-f（1）=-

14

3

+4a，
∴0＜a＜

7

6

時，即f（3）＜f（1），
∴f（x）在[1，3]上的最小值為f（3）=6a-

1

2

=-

1

3

，解得：a=

1

36

，
∴函數(shù)f（x）的最大值點為x=x₂=

3+ 11

6

，

7

6

≤a＜2時，即f（1）＜f（3），
∴f（x）在[1，3]上的最小值為f（1）=2a+

25

6

=-

1

3

，解得：a=-

9

4

（舍）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．