【題目】已知是函數(shù)
的極值點.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求證:函數(shù)存在唯一的極小值點
,且
.
(參考數(shù)據(jù):)
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)求得
;通過導數(shù)驗證函數(shù)的單調(diào)性,可知
時極值點為
,滿足題意;(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)可知極小值點位于
,此時
的零點
,且此時
為極小值點,代入
得到關(guān)于
的二次函數(shù),求解二次函數(shù)值域即可證得結(jié)論.
(Ⅰ)因為,且
是極值點
所以,所以
此時
設(shè) ,則
則當時,
,
為減函數(shù)
又
當時,
,則
為增函數(shù)
當 時,
,則
為減函數(shù)
此時為
的極大值點,符合題意
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,時,不存在極小值點
當時,
,
為增函數(shù),且
,
所以存在
結(jié)合(Ⅰ)可知當時,
,
為減函數(shù);
時,
,
為增函數(shù),所以函數(shù)
存在唯一的極小值點
又 ,所以
且滿足 .
所以
由二次函數(shù)圖象可知:
又,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】記表示
,
中的最大值,如
.已知函數(shù)
,
.
(1)設(shè),求函數(shù)
在
上零點的個數(shù);
(2)試探討是否存在實數(shù),使得
對
恒成立?若存在,求
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年,依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負載力,短視頻快速崛起;與此同時,移動閱讀方興未艾,從側(cè)面反應(yīng)了人們對精神富足的一種追求,在習慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后,部分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學底蘊的嚴肅閱讀青睞有加.
某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長(單位:分鐘),繪制成頻率分布直方圖如下,其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”.
(1)請?zhí)顚懸韵?/span>列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)?
活躍用戶 | 不活躍用戶 | 合計 | |
城市M | |||
城市N | |||
合計 |
(2)以頻率估計概率,從城市M中任選2名用戶,從城市N中任選1名用戶,設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學期望.
(3)該讀書APP還統(tǒng)計了2018年4個季度的用戶使用時長y(單位:百萬小時),發(fā)現(xiàn)y與季度()線性相關(guān),得到回歸直線為
,已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時,試以此回歸方程估計2019年第一季度(
)該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時.
附:,其中
.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線上動點
與定點
的距離和它到定直線
的距離的比是常數(shù)
.若過
的動直線
與曲線
相交于
兩點.
(1)判斷曲線的名稱并寫出它的標準方程;
(2)是否存在與點不同的定點
,使得
恒成立?若存在,求出點
的坐標;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知AB為圓O的直徑,且,點D為線段AO的中點,點C為圓O上的一點,且
,
平面ABC,
.
(1)求證:平面PAB.
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為坐標原點,點
,
,
,動點
滿足
,點
為線段
的中點,拋物線
:
上點
的縱坐標為
,
.
(1)求動點的軌跡曲線
的標準方程及拋物線
的標準方程;
(2)若拋物線的準線上一點
滿足
,試判斷
是否為定值,若是,求這個定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若在
上為單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若,且
,求證:對定義域內(nèi)的任意實數(shù)
,不等式
恒成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若,求函數(shù)
在區(qū)間
(其中
,
是自然對數(shù)的底數(shù))上的最小值;
(2)若存在與函數(shù),
的圖象都相切的直線,求實數(shù)
的取值范圍.
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