Question

如圖，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M為BC中點．
（Ⅰ）求直線EM與平面BCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）P為線段DM上一點，且AP⊥DM，求證：AP∥DE．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由ED⊥平面BCD，可得DM為EM在平面BCD上的射影，即∠EMD為EM與平面BCD所成角．解三角形可得直線EM與平面BCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）P為線段DM上一點，且AP⊥DM，結(jié)合DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M為BC中點．由線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理可得AP∥DE．

解答： 解：（Ⅰ）∵ED⊥平面BCD，
∴DM為EM在平面BCD上的射影，
∴∠EMD為EM與平面BCD所成角．…（2分）
∵DA⊥平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，
∴DA⊥AB，DA⊥AC，
設(shè)DE=DA=AB=AC=a，則DC=DB=

2

a，
在△ABC中，∠BAC=120°，
∴BC=

3

a，
又∵M為BC中點，
∴DM⊥BC，BM=

1

2

BC=

3

2

a，
∴DM=

5

2

a．…（5分）
在Rt△EDM中，EM=

DE 2+DM2

=

3

2

a，
∴sin∠EMD=

DE

EM

=

a

3 2 a

=

2

3

．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，M為BC中點，
∴BC⊥AM．
又DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥DA，
又∵AM∩DA=A，AM，DA?平面DAM．
∴BC⊥平面DAM．…（9分）
又∵AP?平面DAM，
∴BC⊥AP…（11分）
又AP⊥DM，BC∩DM=M，BC，DM?平面BCD．
∴AP⊥平面BCD         …（13分）
又∵ED⊥平面BCD，
∴AP∥DE．      …（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面的夾角，直線與平面垂直的判定定理，直線與平面垂直的性質(zhì)定理，難度中檔．