Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，f（

A

2

）=3，且a=2

3

，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
（2）由f（

A

2

）=3，代入（1），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和三角形的內(nèi)角的取值范圍可得A=

π

3

．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=2cos2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴T=

2π

2

=π．
（2）由f（

A

2

）=3，可得2sin(2×

A

2

+

π

6

)+1=3，化為sin(A+

π

2

)=1，
∴A+

π

2

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∵0＜A＜π，∴取k=0，解得A=

π

3

．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴(2

3

)2=(b+c)2-2bc-2bccos

π

3

=(b+c)2-3(

b+c

2

)2=

1

4

(b+c)2，
∴b+c≤4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2

3

時(shí)取等號(hào)．
∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其周期公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角形的內(nèi)角的取值范圍、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．