Question

函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x-1，給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)在區(qū)間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數(shù)；
（2）直線x=

π

8

是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到；
（4）若 x∈[0，

π

2

]，則f（x）的值域是[0，

2

]．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得其單調(diào)遞減區(qū)間，從而可判斷（1）；
（2）易求f（

π

8

）=

2

sin

π

2

=

2

，為其最大值，可判斷（2）；
（3）利用三角平移變換可判斷（3）；
（4）x∈[0，

π

2

]⇒（2x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，從而可判斷（4）．

解答： 解：f（x）=2cos²x+sin2x-1=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
對(duì)于（1），由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z），
所以，y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z），
而[

π

8

，

5π

8

]?[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，故（1）正確；
對(duì)于（2），因?yàn)閒（

π

8

）=

2

sin

π

2

=

2

，為其最大值，故直線x=

π

8

是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，（2）正確；
對(duì)于（3），y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到y(tǒng)=

2

sin2（x+

π

4

）的圖象，而不是y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象，（3）錯(cuò)誤；
對(duì)于（4），x∈[0，

π

2

]，（2x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，

2

sin（2x+

π

4

）∈[1，

2

]，即f（x）的值域是[1，

2

]，（4）錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換與正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性及閉區(qū)間上的值域，屬于中檔題．