Question

已知命題p：夾角為m的單位向量

a

，

b

使|

a

-

b

|＞1；命題q：函數(shù)f（x）=m²sinx的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若?x₀∈R，f′（x₀）≥

4π2

5

；設(shè)符合p∧q為真的實數(shù)m的取值范圍的集合為A．
（1）求集合A；
（2）若B={x|x²=πa}，且B∩A=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)真值表，分別求出命題p，q為真時，參數(shù)的范圍，建立不等式組，從而可求實數(shù)m的取值范圍．
（2）由條件A∩B=φ，對字母a分類討論，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，解此不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵向量

a

，

b

是單位向量，|

a

-

b

|＞1，
∴（

a

-

b

）²＞1，∴

a

2+

b

2-2

a

•

b

=2-2cosm＞1，cosm＜

1

2

∵0≤m≤π∴

π

3

＜m≤π．
即命題p為真時，m的取值對應(yīng)的集合P=（

π

3

，π]，
f（x）=m²sinx的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=m²cosx，若?x₀∈R，f′（x₀）≥

4π2

5

，則f′（x₀）_max=m²≥

4π2

5

，
解得m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，p∧q為真，即p和q都為真，此時有

π

3

＜m≤π與m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

同時成立，即π≥m≥

2 5 π

5

，故實數(shù)m的取值的集合為A=[

2 5 π

5

，π]．
（2）（i）若B=∅，滿足B∩A=∅，
此時實數(shù)a的取值范圍a＜0；
（ii）若B≠∅，則a≥0，此時B={x|x=±

πα

}，
由B∩A=∅，得-

πα

＞π，

πα

＜

2 5 π

5

，
∴0≤a＜

π

9

，或a＞

4π

5

．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

π

9

）∪（

4π

5

，+∞）．

點評：本題的考點是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，主要考查集合的關(guān)系、集合的運算，同時考查向量運算與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造出關(guān)于a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵．本題是一個中檔題目．