Question

【題目】（1）某中學(xué)理學(xué)社為了吸收更多新社員，在校團(tuán)委的支持下，在高一學(xué)年組織了抽簽贈(zèng)書(shū)活動(dòng).月初報(bào)名，月末抽簽，最初有30名同學(xué)參加.社團(tuán)活動(dòng)積極分子甲同學(xué)參加了活動(dòng).

①第一個(gè)月有18個(gè)中簽名額.甲先抽簽，乙和丙緊隨其后抽簽.求這三名同學(xué)同時(shí)中簽的概率.

②理學(xué)社設(shè)置了第()個(gè)月中簽的名額為，并且抽中的同學(xué)退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充新同學(xué)，補(bǔ)充的同學(xué)比中簽的同學(xué)少2個(gè)，如果某次抽簽的同學(xué)全部中簽，則活動(dòng)立刻結(jié)束.求甲同學(xué)參加活動(dòng)時(shí)間的期望.

（2）某出版集團(tuán)為了擴(kuò)大影響，在全國(guó)組織了抽簽贈(zèng)書(shū)活動(dòng).報(bào)名和抽簽時(shí)間與（1）中某中學(xué)理學(xué)社的報(bào)名和抽簽時(shí)間相同，最初有30萬(wàn)人參加，甲同學(xué)在其中.每個(gè)月抽中的人退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充新人，補(bǔ)充的人數(shù)與中簽的人數(shù)相同.出版集團(tuán)設(shè)置了第()個(gè)月中簽的概率為，活動(dòng)進(jìn)行了個(gè)月，甲同學(xué)很幸運(yùn)，中簽了，在此條件下，求證：甲同學(xué)參加活動(dòng)時(shí)間的均值小于個(gè)月.

Answer 1

【答案】（1）①②（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）①設(shè)甲乙丙中簽為事件，則，計(jì)算得到答案.

②甲參加活動(dòng)的時(shí)間的可能取值為，計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望.

（2）設(shè)甲中簽為事件，則，，利用錯(cuò)位相減法得到，得到證明.

（1）①設(shè)甲乙丙中簽為事件，

則.

②，故，則甲參加活動(dòng)的時(shí)間的可能取值為，

則；；

；

.

則甲參加活動(dòng)的時(shí)間的期望為.

（2）設(shè)甲中簽為事件，則，

設(shè)，甲在第個(gè)月中中簽的概率為，

則甲在事件A發(fā)生的條件下，第個(gè)月中中簽的概率為，

則甲在事件A發(fā)生的條件下，甲參加活動(dòng)時(shí)間的均值為

，

設(shè)，

則，

所以，

，

所以.