Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+mx（m∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為2．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）設g（x）=

f(x)-x

x-1

，討論g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）已知m，n∈N^*且m＞n＞1，證明：

m n

n m

＞

n

m

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，由圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，即有f′（1）=1+ln1+m=2，即可得到m；
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，設h（x）=x-1-lnx，再求h（x）的導數(shù)，討論h（x）的單調(diào)性，從而得到g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）運用分析法證明，要證

m n

n m

＞

n

m

，即證

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，即證

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，即證

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，即證g（m）＞g（n），再由（Ⅱ）即可得證．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=xlnx+mx，所以f′（x）=1+lnx+m，
由圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，
即有f′（1）=1+ln1+m=2，
解得m=1；
（Ⅱ）解：g(x)=

f(x)-x

x-1

=

xlnx

x-1

(x＞0，x≠1)，
所以g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，
設h（x）=x-1-lnx，h′（x）=1-

1

x

，
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，h（x）＞h（1）=0，
所以g′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

＞0，故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；          
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，h（x）＞h（1）=0，
所以g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

＞0，故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
所以g（x）在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）都是單調(diào)遞增的．                     
（Ⅲ）證明：由已知可知要證

m n

n m

＞

n

m

，即證

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，
即證

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，即證

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，即證g（m）＞g（n），
又m＞n＞1（m，n∈N^*），由（2）知g（m）＞g（n），
成立，所以

m n

n m

＞

n

m

．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的綜合應用：求單調(diào)區(qū)間，以及運用單調(diào)性證明不等式，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．