Question

已知過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），計(jì)算的值，由此歸納一條與拋物線有關(guān)的性質(zhì)，使得上述計(jì)算結(jié)果是性質(zhì)的一個(gè)特例：________
（根據(jù)回答的層次給分）

Answer 1

根據(jù)回答的層次給分
過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則；
過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則；
過(guò)（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．
分析：過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可令直線方程為y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系易得 ；然后根據(jù)歸納推理的辦法，由此推斷出過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時(shí)，滿足的性質(zhì)，及過(guò)（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時(shí)，滿足的性質(zhì)．
解答：若過(guò)（0，2）的直線斜率不存在或k=0，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足要求；
若過(guò)（0，2）的直線斜率存在且不為0，則可設(shè)y=kx+2
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是直線與拋物線y²=4x的交點(diǎn)，則

即
∴，且
∴
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是直線與拋物線y²=2px（p＞0）的交點(diǎn)，則

即
∴，且
∴．
由此歸納推斷：過(guò)（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ．
故答案為：過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則（1分）
過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則（1分）
過(guò)（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、歸納推理．歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．