Question

三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°．若E為PC中點(diǎn)，則BE與平面PAC所成的角的大小等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專(zhuān)題：綜合題,空間角

分析：先作PO⊥平面ABC，垂足為O，根據(jù)條件可證得點(diǎn)O為三角形ABC的外心，從而確定點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，然后證明BO是面PAC的垂線，從而得到∠BEO為BE與平面PAC所成的角，在直角三角形BOE中求解即可．

解答： 解：作PO⊥平面ABC，垂足為O
則∠POA=∠POB=∠POC=90°，
而PA=PB=PC，PO是△POA、△POB、△POC的公共邊
∴△POA≌△POB≌△POC
∴AO=BO=CO，則點(diǎn)O為三角形ABC的外心
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°
∴點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，則BO⊥AC
而PO⊥BO，PO∩AC=O
∴BO⊥平面PAC，連接OE
∴∠BEO為BE與平面PAC所成的角
∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)，PA=PB=PC=AC=1，ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°
∴OE為中位線，且OE=

1

2

，BO=

1

2

，
又∵∠BOE=90°
∴∠BEO=45°即BE與平面PAC所成的角的大小為45°
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的外心的概念，以及直線與平面所成角和三角形全等等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了推理能力，屬于中檔題．