如圖,已知圓O′過(guò)定點(diǎn)A(0,p)(p>0),圓心O′在拋物線x2=2py上運(yùn)動(dòng),MN為圓在x軸上截得的弦,令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ.

(1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),|MN|是否有變化?證明你的結(jié)論.

(2)求+的最大值,并求取得最大值時(shí)的θ值.

解:(1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),|MN|為一定值.

    設(shè)O′(x0,y0),則x20=2py0(y0≥0),

    取線段MN中點(diǎn)B,則有O′B⊥MN,所以有:

|M′N|=2|MB|=

=

=

==2p.

(2)在△AMN中運(yùn)用余弦定理,得

|MN|2=|AM|2+|AN|2-2|AM||AN|cosθd21+d22-2d1d2cosθ=4p2,  ①

    再由三角形的面積公式,在△AMN中可得:

|AM||AN|sinθ=|MN||AO|d1d2sinθ=2p2.                                   ②

    由①、②可得:

+==

=2sinθ+2cosθ=2sin(θ+)≤2,

    當(dāng)sin(θ+)=1時(shí),+取最大值2,

    又0<θ<π,

    所以取最大值時(shí)θ=.


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如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直直線AB.點(diǎn)P是圓O上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交L與M、N點(diǎn).
(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí),求證:以MN為直徑的圓必過(guò)圓O內(nèi)的一定點(diǎn).

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(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí),求證:以MN為直徑的圓必過(guò)圓O內(nèi)的一定點(diǎn)。

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(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓的方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí),求證:以MN為直徑的圓必過(guò)AB上一定點(diǎn).

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