Question

2012年第三季度，國家電網決定對城鎮(zhèn)居民民用電計費標準做出調整，并根據用電情況將居民分為三類：第一類的用電區(qū)間在（0，170]，第二類在（170，260]，第三類在（260，+∞）（單位：千瓦時．某小區(qū)共有1000戶居民，現對他們的用電情況進行調查，得到頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求該小區(qū)居民用電量的中位數與平均數；
（2）利用分層抽樣的方法從該小區(qū)內選出10位居民代表，若從該10戶居民代表中任選兩戶居民，求這兩戶居民用電資費屬于不同類型的概率；
（3）若該小區(qū)長期保持著這一用電消耗水平，電力部門為鼓勵其節(jié)約用電，連續(xù)10個月，每個月從該小區(qū)居民中隨機抽取1戶，若取到的是第一類居民，則發(fā)放禮品一份，設X為獲獎戶數，求X的數學期望E（X）與方差D（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由頻率分布直方圖估計樣本數據的中位數，平均數，規(guī)律是：中位數，出現在概率是0.5的地方，平均數為每個矩形的面積與底邊中點乘積之和．
（2）計算利用分層抽樣方法，從中取10戶居民，分別抽取的一類、二類人數；再計算從該10戶居民代表中任選兩戶居民人的總取法種數和這兩戶居民用電資費屬于不同類的取法種數，代入古典概型概率公式計算．
（3）由題意知，取到的是第一類居民的概率，以及X服從二項分布，進而可求X的數學期望E（X）與方差D（X）．

解答： 解：（1）∵從左邊開始，前兩個小矩形的面積之和為0.005×20+0.015×20=0.1+0.3=0.4＜0.5，
設中位數為150+x，則0.02×x+0.4=0.5，解得x=5，∴中位數為155．
平均數為120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8；
（2）利用分層抽樣的方法從該小區(qū)內選出10位居民代表，
得一類居民8戶，二類居民2戶，從中任取2戶，共有

C

2 10

=45種；
兩戶來自不同類型的有

C

1 8

C

1 2

=16種，
∴兩戶居民用電資費屬于不同類型的概率為

16

45

；
（3）由題意知，該小區(qū)的第一類居民占80%，
則每個月從該小區(qū)居民中隨機抽取1戶，取到的是第一類居民的概率為0.8，
連續(xù)10個月抽取，設X為獲獎戶數，則X服從二項分布，
故X的數學期望E（X）=nP=10×0.8=8，
方差D（X）=nP（1-P）=10×0.8×0.2=1.6．

點評：本題考查了利用頻率分布直方圖求中位數、平均數，考查了分層抽樣方法及古典概型的概率計算以及利用二項分布求期望與方差，考查了學生分析解答問題的能力，綜合性強．