在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)證明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD與面VDB所成二面角的大小。
(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
解析試題分析:(Ⅰ)因為平面VAD⊥平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,
又AB在平面ABCD內,AD⊥AB,所以AB⊥平面VAD. …3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥AB,AB⊥AV.
依題意設AB=AD=AV=1,所以BV=BD=. …6分
設VD的中點為E,連結AE、BE,則AE⊥VD,BE⊥VD,
所以∠AEB是面VDA與面VDB所成二面角的平面角. …9分
又AE=,BE=
,所以
故,面VAD與面VDB所成二面角的大小為. …12分
(方法二)
(Ⅰ)同方法一. …3分
(Ⅱ)設AD的中點為O,連結VO,則VO⊥底面ABCD.
又設正方形邊長為1,建立空間直角坐標系如圖所示. …4分
則,A(,0,0), B(
,1,0),
D(-,0,0), V(0,0,
);
. …7分
由(Ⅰ)知是平面VAD的法向量.設
是平面VDB的法向量,則
…10分
∴
由圖知,面VAD與面VDB所成的二面角為銳角,
故,面VAD與面VDB所成二面角的大小為. …12分
考點:本小題主要考查空間中線面垂直的證明以及二面角的求法,考查學生的空間想象能力及推理論證能力和計算能力.
點評:本小題的難點在于第二問求二面角,用向量法求解二面角時,要正確判斷法向量的方向,同指向二面角內或外則向量夾角與二面角互補,一個指向內另一個指向外則相等.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在平行四邊形中,
,將它們沿對角線
折起,折后的點
變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/4/dqotb1.png" style="vertical-align:middle;" />,且
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)為線段
上的一個動點,當線段
的長為多少時,
與平面
所成的角為
?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(12分)在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,
平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點,
(1)求證:MN //平面PAD (2)求點B到平面AMN的距離
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分) 如圖,已知平面∩平面
=AB,PQ⊥
于Q,PC⊥
于C,CD⊥
于D.
(1)求證:P、C、D、Q四點共面;
(2)求證:QD⊥AB.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,平面平面
,
是以
為斜邊的等腰直角三角形,
分別為
,
,
的中點,
,
.
(1)設是
的中點,證明:
平面
;
(2)在內是否存在一點
,使
平面
,若存在,請找出點M,并求FM的長;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖(1)在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、F、G分別是PC、PD、BC的中點,現將△PDC沿CD折起,使平面PDC⊥平面ABCD(如圖2)
(1)求二面角G-EF-D的大;
(2)在線段PB上確定一點Q,使PC⊥平面ADQ,并給出證明過程.
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