Question

已知動點P的軌跡是曲線C，滿足點P到點F（-4，0）的距離與它到直線l：x=-1的距離|PQ|之比為常數(shù)，又點（2，0）在曲線C上．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在直線y=kx-2與曲線C交于不同的兩點M和N，且線段MN的中點為A（1，1）．若存在求出求實數(shù)k的值，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設P（x，y），且

|PF|

|PQ|

=e（常數(shù)），由已知條件推導出

|PF|

|PQ|

=

(x+4)2+y2

|x+1|

=2．由此能求出曲線C的方程．
（2）由

y=kx-2 x2 4 - y2 12 =1

，得（3-k²）x²+4kx-16=0，由此利用根的判別式能求出k的值．

解答： 解：（1）設P（x，y），且

|PF|

|PQ|

=e（常數(shù)），
∵點（2，0）在曲線C上，∴e=

2-(-4)

2-(-1)

=2．
∴

|PF|

|PQ|

=

(x+4)2+y2

|x+1|

=2．
整理，得曲線C的方程為：

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）由

y=kx-2 x2 4 - y2 12 =1

，得（3-k²）x²+4kx-16=0，
則

3-k2≠0 △=(4k)2-4×(3-k2)×(-16)＞0

，
解得-2＜k＜2，且k≠±

3

．
實數(shù)k的取值范圍-2＜k＜2，且k≠±

3

，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

x1+x2

2

=-

2k

3-k2

=1，
解得k=3或k=-1
-1∉{k|-2＜k＜2，且k≠±

3

}，故k=-1（舍去），
∴k=3．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．