Question

已知橢圓C的方程為x²+=1，點P（a，b）的坐標滿足a²+≤1，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：

（1）點Q的軌跡方程；

（2）點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）設點A、B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），點Q的坐標為Q（x，y）. 當x1≠x2時，設直線斜率為k，則l的方程為y=k（x－a）+b. 由已知x12+=1  ①，x22+=1  ② y1=k（x1－a）+b  ③，y2=k（x2－a）+b  ④ ①－②得（x1+x2）（x1－x2）+（y1+y2）（y1－y2）=0.  ⑤ ③+④得y1+y2=k（x1+x2）－2ka+2b  ⑥ 由⑤、⑥及， 得點Q的坐標滿足方程2x2+y2－2ax－by=0  ⑦ 當x1=x2時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸，即Q的坐標為（a，0），顯然點Q的坐標滿足方程⑦ 綜上所述，點Q的坐標滿足方程2x2+y2－2ax－by=0. 設方程⑦所表示的曲線為l. 則由得（2a2+b2）x2－4ax+2－b2=0. 因為Δ=8b2（a2+－1），由已知a2+≤1 所以當a2+=1時，Δ=0，曲線l與橢圓C有且只有一個交點P（a，b）； 當a2+＜1時，Δ＜0，曲線l與橢圓C沒有交點. 因為（0，0）在橢圓C內，又在曲線l上，所以曲線l在橢圓C內. 故點Q的軌跡方程為2x2+y2－2ax－by=0； （2）由，得曲線l與y軸交于點（0，0）、（0，b）； 由，得曲線l與x軸交于點（0，0）、（a，0）； 當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重合，曲線l與x軸只有一個交點（0，0）； 當a=0且0＜|b|≤時，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線l與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）； 同理，當b=0且0＜|a|≤1時，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線l與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）； 當0＜|a|＜1且0＜|b|＜時，即點P（a，b）在橢圓C內且不在坐標軸上時，曲線l與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）.