Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交3元的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（7≤x≤11）時，一年的銷售量為（12-x）²萬件．
（Ⅰ）求該分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出每件產(chǎn)品的利潤，乘以價格得到利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求出利潤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由a得范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點的范圍，分類討論原函數(shù)在[9，11]上的單調(diào)性，并求出a在不同范圍內(nèi)的利潤函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為L=（x-3-3）（12-x）²=（x-6）（144+x²-24x）=x³-30x²+288x-864，x∈[7，11]…（6分）
（Ⅱ）L'=3x²-60x+288=3（x²-20x+96）=3（x-12）（x-8）
令L'=0，得x=8或x=12（不合題意，舍去）．…（8分）
當(dāng)x∈[7，8]時，L'＞0，L單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[8，11]時，L'＜0，L單調(diào)遞減…（10分）
于是：當(dāng)每件產(chǎn)品的售價x=8時，該分公司一年的利潤最大，且最大利潤L_max=32萬元…（12分）

點評：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，是中檔題．