Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且經(jīng)過點A（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如果過點（0，）的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N點與A點不重合），求•的值；當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時，求直線MN的方程．

Answer 1

解：（I）因為橢圓經(jīng)過點A（0，-1），所以b=1，
又e=，解得a=2，
所以橢圓的方程為．
（II）①若過點（0，）的直線的斜率不存在，此時M，N兩點中有一個點與A點重合，不滿足題目條件，
所以直線MN的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則MN的方程為y=kx+，
把y=kx+代入橢圓方程得（1+4k²）x²+，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
=，=，
因為A（0，-1），
所以=（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
=-；
②由①知：∠MAN=90°，如果△AMN為等腰直角三角形，設(shè)MN的中點為P，則AP⊥MN，且，
若k=0，則P（0，），顯然滿足AP⊥MN，此時直線MN的方程為y=；
若k≠0，則=-，解得k=，
所以直線MN的方程為y=x+，即或．
綜上所述，直線MN的方程為y=或或．
分析：（Ⅰ）由橢圓所過點A可求得b值，由離心率及a²=b²+c²可求得a值，從而得橢圓方程；
（Ⅱ）①易判斷直線MN存在斜率，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的方程為y=kx+，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理、向量的數(shù)量積運算即可求得•的值；②由①知：∠MAN=90°，設(shè)MN的中點為P，由△AMN為等腰直角三角形得AP⊥MN，由中點坐標(biāo)公式可得P點坐標(biāo)，分情況討論：若k=0易求此時直線MN方程；若k≠0，則，由斜率公式可得k的方程，解出得k，根據(jù)點斜式可求得直線MN方程，綜上可得答案；
點評：本題考查直線方程、橢圓方程及直線與橢圓位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運算，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大．