Question

已知M（-1，m），N（2，n）是二次函數(shù)f（x）=ax²（a＞0）圖象上兩點，且MN=3

2

．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的圖象在N點處切線的方程；
（3）設(shè)直線x=t與f（x）和曲線y=lnx的圖象分別交于點P、Q，求PQ的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)MN=3

2

，建立方程組關(guān)系即可求a的值；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求求f（x）的圖象在N點處切線的方程；
（3）求出PQ的表達式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵M（-1，m），N（2，n）是二次函數(shù)f（x）=ax²（a＞0）圖象上兩點，且MN=3

2

．
∴

m=a，a＞0 n=4a 9+(m-n)2 =3 2

，解得a=1，m=1，n=4．
（2）由（1）可得：f（x）=x²，N（2，4），
∴f′（x）=2x，則f（x）的圖象在N點處切線的斜率為4，
∴f（x）的圖象在N點處切線的方程為y=4x-4．
（3）由題意可得：PQ=|t²-lnt|，t＞0，
令g（t）=t²-lnt，t＞0，
g′（t）=2t-

1

t

=

2t2-1

t

=

2(t+ 2 2 )(t- 2 2 )

t

，
∴當t∈（0，

2

2

）時，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)減；
當t∈（

2

2

，+∞）時，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)增；
∴當t=

2

2

時，g（t）取得極小值同時也是最小值g（

2

2

）=

1

2

+

1

2

ln2；
∴PQ的最小值為

1

2

+

1

2

ln2．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題，綜合性較強，運算量較大．